可算離散空間の一点コンパクト化を対象とする圏におけるカノニカル位相とTopological Topos

証明: Grothendieck位相の3つの公理を満たすことを順番に示す。

① 極大篩: $S = M$ の場合。任意の $g \in M$ に対し、有限族として $h_1 = \id_{\Nhat}$ を1つ選ぶ。明らかに $g \circ \id_{\Nhat} = g \in M$ であり、$\Int(\Im(\id_{\Nhat})) = \Int(\Nhat) = \Nhat$ であるから、条件を満たす。ゆえに $M \in J(\Nhat)$ である。

② 引き戻しの安定性: $S \in J(\Nhat)$ とし、$f \in M$ とする。任意の $g \in M$ に対して、$f^*S$ が条件を満たすことを示す。 仮定 $S \in J(\Nhat)$ より、射 $f \circ g \in M$ に対して、ある有限個の $h_1, \dots, h_k \in M$ が存在し、 $(f \circ g) \circ h_i \in S$ かつ $\bigcup_{i=1}^k \Int(\Im(h_i)) = \Nhat$ を満たす。 写像の合成の結合律より、$(f \circ g) \circ h_i = f \circ (g \circ h_i) \in S$ である。これは引き戻しの定義より $g \circ h_i \in f^*S$ を意味する。 被覆の条件は既に満たされているため、$f^*S \in J(\Nhat)$ が従う。

③ 局所性: $S \in J(\Nhat)$ であり、かつ任意の $f \in S$ に対して $f^*R \in J(\Nhat)$ が成り立つと仮定する。このとき $R \in J(\Nhat)$ となることを示す。 任意の $g \in M$ を固定する。仮定 $S \in J(\Nhat)$ より、有限個の連続写像 $h'_1, \dots, h'_k \in M$ が存在し、$g \circ h'_i \in S$ かつ $\bigcup_{i=1}^k \Int(\Im(h'_i)) = \Nhat$ を満たす。 ここで、$\Nhat$ の各開集合 $U_i = \Int(\Im(h'_i))$ を考える。完全不連結性 (totally disconnectedness) の性質より、各 $U_i$ には $\Nhat$ と同相な部分集合（$\infty$ を含む場合は補有限集合、そうでない場合は孤立点）を含むように「縮小」する連続写像 $c_i: \Nhat \to U_i$ を構成できる。 $h_i = h'_i \circ c_i$ と定義すると、$h_i \in M$ であり、$\Im(h_i) \subset U_i \subset \Im(h'_i)$ となるが、適切に $c_i$ を選ぶことで依然として $\bigcup_{i=1}^k \Int(\Im(h_i)) = \Nhat$ を満たすようにできる。 ここで $f_i = g \circ h_i$ とおくと、$g \circ h'_i \in S$ と篩の性質より $f_i \in S$ である。 局所性の仮定より、$f_i^*R \in J(\Nhat)$ である。この位相の定義より、恒等射 $\id_{\Nhat}$ に対して、有限個の連続写像 $k_{i,1}, \dots, k_{i, m_i} \in M$ が存在し、 $f_i \circ k_{i,j} \in R$ かつ $\bigcup_{j=1}^{m_i} \Int(\Im(k_{i,j})) = \Nhat$ を満たす。 このとき、合成写像 $h_i \circ k_{i,j}$ を考えると、$g \circ (h_i \circ k_{i,j}) = f_i \circ k_{i,j} \in R$ である。 さらに、$h_i$ を内部 $U_i$ への開写像とみなせるように選んであるため、位相空間論の基本性質より $\Int(\Im(h_i \circ k_{i,j})) = h_i(\Int(\Im(k_{i,j})))$ が成り立つ。 したがって、 $$ \bigcup_{i=1}^k \bigcup_{j=1}^{m_i} \Int(\Im(h_i \circ k_{i,j})) = \bigcup_{i=1}^k h_i \left( \bigcup_{j=1}^{m_i} \Int(\Im(k_{i,j})) \right) = \bigcup_{i=1}^k h_i(\Nhat) = \bigcup_{i=1}^k \Im(h_i) $$ $\Im(h_i)$ は $\Int(\Im(h_i))$ を含むため、これらをすべて和集合をとれば $\Nhat$ 全体を被覆する。 これにより、族 $\{h_i \circ k_{i,j}\}$ が $R$ に対する条件を満たすことになり、$R \in J(\Nhat)$ が証明される。

証明: まず、層条件を満たすことを示す。 $S \in J(\Nhat)$ とし、マッチングファミリー (matching family) $\phi: S \to M$ が与えられたとする。マッチングファミリーの条件は、任意の $f \in S$ と $g \in M$ に対し、$\phi(f \circ g) = \phi(f) \circ g$ となることである。 $S \in J(\Nhat)$ の定義において $g = \id_{\Nhat}$ ととれば、有限個の連続写像 $h_1, \dots, h_k \in S$ が存在し、$\bigcup_{i=1}^k \Int(\Im(h_i)) = \Nhat$ を満たす。 大域切断 $m: \Nhat \to \Nhat$ を次のように構成する。任意の $x \in \Nhat$ に対し、$x \in \Int(\Im(h_i))$ となる $i$ を一つ選ぶ。このとき $x = h_i(y)$ となる $y \in \Nhat$ が存在するので、 $$m(x) = \phi(h_i)(y)$$ と定義する。この定義がwell-definedであることを示す。 別の $h_j$ と $y'$ について $x = h_j(y')$ となったとする。$\Nhat$ は対象が1つの圏の元であるため、引き戻しを利用して共通の持ち上げを考えることができる。マッチングファミリーの自然性（互換性条件）から、$\phi(h_i)(y) = \phi(h_j)(y')$ が導かれ、$m$ の値は代表元の取り方によらない。 また、$m$ の連続性について確認する。各 $h_i$ の像の内部 $\Int(\Im(h_i))$ という開集合の上で、$m$ は連続写像 $\phi(h_i)$ を通じて定義されている。有限個の開被覆 $\{ \Int(\Im(h_i)) \}_{i=1}^k$ の各々の上で連続であるから、位相空間論における貼り合わせの補題 (pasting lemma) により、関数 $m$ は全体 $\Nhat$ 上で連続である。すなわち $m \in M$ である。 さらに構成から、任意の $f \in S$ に対し $m \circ f = \phi(f)$ が成り立つ。大域切断の一意性も、$\Nhat$ の各点での値が決定されることから直ちに導かれる。よって $h_{\Nhat}$ は層である。 次に、最大性を示す。 $J'$ を層条件を満たす任意のGrothendieck位相とし、$S \in J'$ が $S \notin J(\Nhat)$ であると仮定して矛盾を導く。 $S \notin J(\Nhat)$ と仮定すると、ある $g \in M$ が存在し、$g^*S$ に属するいかなる有限族 $\{h_i\}$ の像の内部の和集合をとっても $\Nhat$ を被覆することができない。 $\Nhat$ はコンパクト空間であるため、「有限族の内部で被覆できない」ことは「全体の族 $g^*S$ の内部の和集合をとっても被覆できない」ことと同値である。 したがって、$\Nhat \smallsetminus \bigcup_{h \in g^*S} \Int(\Im(h))$ には少なくとも1つの点が存在する。 被覆されない点として $x_0 = \infty$ を考える。このとき、任意の $h \in g^*S$ に対して、$\infty \notin \Int(\Im(h))$ である。 これは、任意の $h \in g^*S$ の像が $\infty$ の開近傍を含まないことを意味する。$\Nhat$ の位相の定義から、$\infty$ の開近傍を含まない閉集合は有限集合に限られる。すなわち、任意の $h \in g^*S$ の像 $\Im(h)$ は有限集合（離散空間）である。 ここで、不連続な関数 $m: \Nhat \to \Nhat$ を構成する。$\infty$ に収束する点列 $n_k \to \infty$ 上で、値が交互にジャンプするように（例えば $m(n_k) = 0$ (kが偶数), $m(n_k) = 1$ (kが奇数)）定め、それ以外の点では $0$ とする。この $m$ は明らかに $\infty$ で不連続であるため $m \notin M$ である。 しかし、任意の $h \in g^*S$ に対して、$\Im(h)$ は有限集合であるから、制限写像 $m|_{\Im(h)}$ は有限離散空間上の関数となり、自動的に連続となる。したがって合成 $m \circ h$ は連続写像となり、$m \circ h \in M$ を満たす。 族 $\phi(h) = m \circ h$ は $g^*S$ 上のマッチングファミリーを定めるが、これを引き起こす大域的連続関数（大域切断）は $m$ 以外に存在せず、かつ $m \notin M$ であるため層条件に矛盾する。 ゆえに $S \in J(\Nhat)$ でなければならず、$J' \subset J(\Nhat)$ が示された。

証明: Johnstoneの位相の定義を圏 $\mathcal{N}$ の言葉のみに翻訳すると、篩 $S \subset M$ が $J'(\Nhat)$ に属するための条件は、任意の $g \in M$ に対して以下の2条件を満たすことである。

• (A) 像による全体の被覆: $\bigcup_{h \in g^*S} \Im(h) = \Nhat$
• (B) $\infty$ における内部被覆の存在: ある $h_\infty \in g^*S$ が存在し、$\infty \in \Int(\Im(h_\infty))$ が成り立つ。

$J'(\Nhat) = J(\Nhat)$ を両方向の包含関係により証明する。

① $J'(\Nhat) \subset J(\Nhat)$ の証明: $S \in J'(\Nhat)$ とし、任意の $g \in M$ を固定する。 条件 (B) より、ある $h_\infty \in g^*S$ が存在して $\infty \in \Int(\Im(h_\infty))$ となる。これにより空間の点 $\infty$ が一つの射の像の内部で被覆された。 次に、$\infty$ 以外の任意の点 $n \in \N$ を考える。各 $n \in \N$ は孤立点であり、単独で開集合である。 条件 (A) より、点 $n$ を像に含むような射 $h_n \in g^*S$ が存在する（$n \in \Im(h_n)$）。 $\{n\}$ は開集合であるため、像 $\Im(h_n)$ に含まれる点 $n$ は自動的にその内部に含まれる。すなわち $n \in \Int(\Im(h_n))$ である。 これにより、開集合の族 $$\mathcal{U} = \{ \Int(\Im(h_\infty)) \} \cup \{ \Int(\Im(h_n)) \mid n \in \N \}$$ は $\Nhat$ の開被覆となる。 $\Nhat$ はコンパクト空間であるから、この開被覆から有限部分被覆を選ぶことができる。すなわち、有限個の射 $\{h_\infty, h_{n_1}, \dots, h_{n_m}\} \subset g^*S$ を選んで、それらの像の内部の和集合で $\Nhat$ 全体を被覆できる。 これはまさに $J(\Nhat)$ の定義を満たすため、$S \in J(\Nhat)$ である。

② $J(\Nhat) \subset J'(\Nhat)$ の証明: $S \in J(\Nhat)$ とし、任意の $g \in M$ を固定する。 定義より、有限個の $h_1, \dots, h_k \in g^*S$ が存在して、$\bigcup_{i=1}^k \Int(\Im(h_i)) = \Nhat$ が成り立つ。 内部の和集合が全体を覆うため、像そのものの和集合も当然ながら全体を覆う。すなわち $\bigcup_{h \in g^*S} \Im(h) = \Nhat$ であり、条件 (A) は満たされる。 また、$\infty \in \Nhat$ はこの和集合に必ず含まれるため、ある $j \in \{1, \dots, k\}$ が存在して $\infty \in \Int(\Im(h_j))$ となる。これが条件 (B) の $h_\infty$ となる。 ゆえに $S \in J'(\Nhat)$ である。 以上により、$J'(\Nhat) = J(\Nhat)$ が証明された。